Введение в ЯМР

С позиции квантовой механики энергию взаимодействия ядерных спинов с внешним магнитным полем можно вычислить, зная соответствующие волновые функции и гамильтониан магнитных взаимодействий.

В соответствии с представлениями квантовой теории состояния  ядерного спина квантованы, т.е. компонента mI вектора ядерного спина в любом данном направлении может принимать только одно из значений дискретного набора +I, +(I-1),...,-I. Величину mI называют ядерным спиновым квантовым числом. Для протона I=1/2 и mI может принимать значения +1/2 или -1/2.

Для построения квантово-механического гамильтониана магнитных взаимодействий вводятся спиновые функции  |α> и  |β>. Затем, используя введённые спиновые функции, можно описать два важнейших типа взаимодействий ядерного спина.  Действие оператора ядерного спина записывается в виде операторных уравнений

Iz|α>=+1/2|α>

Iz|β>=-1/2|β>

Взаимодействие ядра с постоянным магнитным полем (Зеемановское взаимодействие) описывается гамильтонианом

Ĥ0=-g_Nb_NH₀I_z

где Нo - напряженность постоянного магнитного поля a 

I_z - z - компонента оператора ядерного спина.

Значения спиновых энергий с учетом только Зеемановского взаимодействия можно вычислить следующим образом:

E1=-1/2g_Nb_NH₀   для состояния |α>

E2=1/2g_Nb_NH₀   для состояния |β>

Схема энергетических уровней отдельного протона в постоянном магнитном поле может быть представлена следующим образом:

В макроскопическом ансамбле  протонов, помещенных в магнитное поле Н₀, одна часть протонов находится в состоянии  |α>, другая - в состоянии  |β>. Распределение заселённостей спинов между двумя возможными состояниями должно подчиняться закону Больцмана, согласно которому 

 где Nα - заселённость состояния |α>,

Nβ- состояния |β>,

а ΔЕ- разность энергий. ΔЕ=g_Nb_NH₀=γH₀.

 Вычисления показывают, что для протонов в поле 10000 э заселённости двух энергетических состояний спина отличаются на 10^-5. Т.е. в ансамбле, состоящим из 10⁶ протонов разность заселённостей будет составлять всего 10 протонов. Чтобы вызвать переходы между двумя состояниями, необходимо подействовать на систему переменным электромагнитным полем с частотой ν. Поглощение энергии происходит при условии, что магнитный вектор переменного поля перпендикулярен направлению постоянного магнитного поля.

Вторым типом взаимодействия является спин-спиновое взаимодействие между каждой парой спинов протонов в молекуле, описываемое гамильтонианом следующего вида

Ĥ₁=J×I₁×I₂

 где J называется константой спин - спинового взаимодействия и выражается в герцах (Гц). Таким образом, полный гамильтониан, учитывающий Зеемановское и спин-спиновое взаимодействия можно представить в виде:

Ĥ=Ĥ₀ + Ĥ₁==-g_Nb_NH₀I_z + J×I₁×I₂